Resolver {l}{4x-7y=10}{-3x+2y=-9}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 7 y = 10 }\\{ - 3 x + 2 y = - 9 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{43}{13} = 3\frac{4}{13} \approx 3.307692308$$

$$y=\frac{6}{13}\approx 0.461538462$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-7y=10$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=7y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+10\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 7y+10.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{7y}{4}+\frac{5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+2y=-9).

$$-3\left(\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=-9$$

Egin -3 bider \frac{7y}{4}+\frac{5}{2}.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{15}{2}+2y=-9$$

Gehitu -\frac{21y}{4} eta 2y.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{15}{2}=-9$$

Gehitu \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{3}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{6}{13}$$

Ordeztu \frac{6}{13} y balioarekin x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{4}\times \frac{6}{13}+\frac{5}{2}$$

Egin \frac{7}{4} bider \frac{6}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{21}{26}+\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{21}{26} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{43}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{3}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 10-\frac{7}{13}\left(-9\right)\\-\frac{3}{13}\times 10-\frac{4}{13}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{13}\\\frac{6}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

4x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 4x-3\left(-7\right)y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 2y=4\left(-9\right)$$

Sinplifikatu.

$$-12x+21y=-30,-12x+8y=-36$$

Egin -12x+8y=-36 ken -12x+21y=-30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x+21y-8y=-30+36$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y-8y=-30+36$$

Gehitu 21y eta -8y.

$$13y=-30+36$$

Gehitu -30 eta 36.

$$13y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=\frac{6}{13}$$

Ordeztu \frac{6}{13} y balioarekin -3x+2y=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+2\times \frac{6}{13}=-9$$

Egin 2 bider \frac{6}{13}.

$$-3x+\frac{12}{13}=-9$$

Egin ken \frac{12}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-\frac{129}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=\frac{43}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$