Resolver {l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-2y=13$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=2y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 2y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

Ordeztu \frac{y}{2}+\frac{13}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+2y=1).

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

Egin -2 bider \frac{y}{2}+\frac{13}{4}.

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y-\frac{13}{2}=1$$

Gehitu \frac{13}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{15}{2}$$

Ordeztu \frac{15}{2} y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

Egin \frac{1}{2} bider \frac{15}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{15+13}{4}$$

Gehitu \frac{13}{4} eta \frac{15}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

4x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

Sinplifikatu.

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

Egin -8x+8y=4 ken -8x+4y=-26 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

Gehitu -8x eta 8x. Sinplifikatu egiten dira -8x eta 8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-8y=-26-4$$

Gehitu 4y eta -8y.

$$-4y=-26-4$$

Gehitu -26 eta -4.

$$-4y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=\frac{15}{2}$$

Ordeztu \frac{15}{2} y balioarekin -2x+2y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

Egin 2 bider \frac{15}{2}.

$$-2x+15=1$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$