Resolver {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=4$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Ordeztu \frac{y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+y=3).

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

Egin -1 bider \frac{y}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta y.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}y=5$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=\frac{1}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

Egin \frac{1}{2} bider 10.

$$x=5+2$$

Gehitu 2 eta 5.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

Egin -2x+2y=6 ken -2x+y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y=-4-6$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=-4-6$$

Gehitu -4 eta -6.

$$-y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin -x+y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+10=3$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=10$$