Resolver {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$12x-4y=-4$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x=4y-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

Egin \frac{1}{12} bider -4+4y.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-1+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+8y=17).

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

Egin 3 bider \frac{-1+y}{3}.

$$y-1+8y=17$$

Gehitu y eta 8y.

$$9y-1=17$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9y=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider 2.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

12x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 12 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

Sinplifikatu.

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

Egin 36x+96y=204 ken 36x-12y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

Gehitu 36x eta -36x. Sinplifikatu egiten dira 36x eta -36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y-96y=-12-204$$

Gehitu -12y eta -96y.

$$-108y=-12-204$$

Gehitu -12 eta -204.

$$-108y=-216$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -108 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 3x+8y=17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+8\times 2=17$$

Egin 8 bider 2.

$$3x+16=17$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$