Resolver {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+y=-11$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-y-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{11+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-6y=14).

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

Egin 4 bider \frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

Gehitu \frac{4y}{5} eta -6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

Egin ken \frac{44}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{26}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider -1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

Gehitu \frac{11}{5} eta -\frac{1}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

-5x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

Sinplifikatu.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

Egin -20x+30y=-70 ken -20x+4y=-44 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

Gehitu -20x eta 20x. Sinplifikatu egiten dira -20x eta 20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-30y=-44+70$$

Gehitu 4y eta -30y.

$$-26y=-44+70$$

Gehitu -44 eta 70.

$$-26y=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 4x-6y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

Egin -6 bider -1.

$$4x+6=14$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-1$$