Resolver {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y+1\right) balioarekin (y+1,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3=y+1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x+3-y=1$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x-y=1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$3x-y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(y-1\right) balioarekin (y-1,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x-1 biderkatzeko.

$$4x-4=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$4x-4-y=-1$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$4x-y=-1+4$$

3 lortzeko, gehitu -1 eta 4.

$$4x-y=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=-2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{-2+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-y=3).

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Egin 4 bider \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Gehitu \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=17$$

Ordeztu 17 y balioarekin x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Gehitu -\frac{2}{3} eta \frac{17}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=17$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y+1\right) balioarekin (y+1,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3=y+1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x+3-y=1$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x-y=1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$3x-y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(y-1\right) balioarekin (y-1,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x-1 biderkatzeko.

$$4x-4=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$4x-4-y=-1$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$4x-y=-1+4$$

3 lortzeko, gehitu -1 eta 4.

$$4x-y=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=17$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(y+1\right) balioarekin (y+1,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$3x+3=y+1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x+3-y=1$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$3x-y=1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$3x-y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(y-1\right) balioarekin (y-1,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x-1 biderkatzeko.

$$4x-4=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$4x-4-y=-1$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$4x-y=-1+4$$

3 lortzeko, gehitu -1 eta 4.

$$4x-y=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Egin 4x-y=3 ken 3x-y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x-4x=-2-3$$

Gehitu 3x eta -4x.

$$-x=-2-3$$

Gehitu -2 eta -3.

$$-x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=5$$

Ordeztu 5 x balioarekin 4x-y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4\times 5-y=3$$

Egin 4 bider 5.

$$20-y=3$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=17$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=17$$