Resolver {r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-1-y=1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x-y=1+1$$

2 lortzeko, gehitu 1 eta 1.

$$x-y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$2y-2=x+1$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-2-x=1$$

Gehitu 2 bi aldeetan.

$$2y-x=1+2$$

3 lortzeko, gehitu 1 eta 2.

$$2y-x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+2$$

Ordeztu y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+2y=3).

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

Egin -1 bider y+2.

$$-y-2+2y=3$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y-2=3$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=5+2$$

Gehitu 2 eta 5.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-1-y=1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x-y=1+1$$

2 lortzeko, gehitu 1 eta 1.

$$x-y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$2y-2=x+1$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-2-x=1$$

Gehitu 2 bi aldeetan.

$$2y-x=1+2$$

3 lortzeko, gehitu 1 eta 2.

$$2y-x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-1-y=1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x-y=1+1$$

2 lortzeko, gehitu 1 eta 1.

$$x-y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$2y-2=x+1$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-2-x=1$$

Gehitu 2 bi aldeetan.

$$2y-x=1+2$$

3 lortzeko, gehitu 1 eta 2.

$$2y-x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

Sinplifikatu.

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

Egin -x+2y=3 ken -x+y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y=-2-3$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=-2-3$$

Gehitu -2 eta -3.

$$-y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin -x+2y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+2\times 5=3$$

Egin 2 bider 5.

$$-x+10=3$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=5$$