Resolver {r}{x+4y=900}{3x-4y=300}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 900 } \\ { 3 x - 4 y = 300 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=300$$

$$y=150$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=900$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+900$$

Ordeztu -4y+900 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-4y=300).

$$3\left(-4y+900\right)-4y=300$$

Egin 3 bider -4y+900.

$$-12y+2700-4y=300$$

Gehitu -12y eta -4y.

$$-16y+2700=300$$

Egin ken 2700 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-16y=-2400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=150$$

Ordeztu 150 y balioarekin x=-4y+900 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times 150+900$$

Egin -4 bider 150.

$$x=-600+900$$

Gehitu 900 eta -600.

$$x=300$$

Ebatzi da sistema.

$$x=300,y=150$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 3}&-\frac{4}{-4-4\times 3}\\-\frac{3}{-4-4\times 3}&\frac{1}{-4-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 900+\frac{1}{4}\times 300\\\frac{3}{16}\times 900-\frac{1}{16}\times 300\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=300,y=150$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 4y=3\times 900,3x-4y=300$$

Sinplifikatu.

$$3x+12y=2700,3x-4y=300$$

Egin 3x-4y=300 ken 3x+12y=2700 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+12y+4y=2700-300$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y+4y=2700-300$$

Gehitu 12y eta 4y.

$$16y=2700-300$$

Gehitu 2700 eta -300.

$$16y=2400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=150$$

Ordeztu 150 y balioarekin 3x-4y=300 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-4\times 150=300$$

Egin -4 bider 150.

$$3x-600=300$$

Gehitu 600 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=900$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=300$$

Ebatzi da sistema.

$$x=300,y=150$$