Resolver {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=25$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+25$$

Ordeztu -4y+25 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+3y=52).

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

Egin -4 bider -4y+25.

$$16y-100+3y=52$$

Gehitu 16y eta 3y.

$$19y-100=52$$

Gehitu 100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$19y=152$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-4y+25 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times 8+25$$

Egin -4 bider 8.

$$x=-32+25$$

Gehitu 25 eta -32.

$$x=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-7,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

Sinplifikatu.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

Egin -4x+3y=52 ken -4x-16y=-100 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-16y-3y=-100-52$$

Gehitu -16y eta -3y.

$$-19y=-100-52$$

Gehitu -100 eta -52.

$$-19y=-152$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin -4x+3y=52 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+3\times 8=52$$

Egin 3 bider 8.

$$-4x+24=52$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=8$$