Resolver {r}{x+3y=8}{2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 3 y = 8 } \\ { 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+3y=8,2x+4y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+3y=8$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3y+8$$

Ordeztu -3y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+4y=12).

$$2\left(-3y+8\right)+4y=12$$

Egin 2 bider -3y+8.

$$-6y+16+4y=12$$

Gehitu -6y eta 4y.

$$-2y+16=12$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-3y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\times 2+8$$

Egin -3 bider 2.

$$x=-6+8$$

Gehitu 8 eta -6.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+3y=8,2x+4y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-3\times 2}&-\frac{3}{4-3\times 2}\\-\frac{2}{4-3\times 2}&\frac{1}{4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{3}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 8+\frac{3}{2}\times 12\\8-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+3y=8,2x+4y=12$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 3y=2\times 8,2x+4y=12$$

Sinplifikatu.

$$2x+6y=16,2x+4y=12$$

Egin 2x+4y=12 ken 2x+6y=16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+6y-4y=16-12$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-4y=16-12$$

Gehitu 6y eta -4y.

$$2y=16-12$$

Gehitu 16 eta -12.

$$2y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 2x+4y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4\times 2=12$$

Egin 4 bider 2.

$$2x+8=12$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$