Resolver {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: d, q

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi d. Horretarako, isolatu d berdin ikurraren ezkerraldean.

$$d+q=40$$

Egin ken q ekuazioaren bi aldeetan.

$$d=-q+40$$

Ordeztu -q+40 balioa d balioarekin beste ekuazioan (10d+0.25q=5.8).

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

Egin 10 bider -q+40.

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

Gehitu -10q eta \frac{q}{4}.

$$-9.75q+400=5.8$$

Egin ken 400 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9.75q=-394.2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9.75 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Ordeztu \frac{2628}{65} q balioarekin d=-q+40 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, d ebatz dezakezu zuzenean.

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

Gehitu 40 eta -\frac{2628}{65}.

$$d=-\frac{28}{65}$$

Ebatzi da sistema.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

Atera d eta q matrize-elementuak.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

d eta 10d berdintzeko, biderkatu 10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

Sinplifikatu.

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

Egin 10d+0.25q=5.8 ken 10d+10q=400 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

Gehitu 10d eta -10d. Sinplifikatu egiten dira 10d eta -10d. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10q-0.25q=400-5.8$$

Gehitu 10q eta -\frac{q}{4}.

$$9.75q=400-5.8$$

Gehitu 400 eta -5.8.

$$9.75q=394.2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9.75 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Ordeztu \frac{2628}{65} q balioarekin 10d+0.25q=5.8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, d ebatz dezakezu zuzenean.

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

Egin 0.25 bider \frac{2628}{65}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

Egin ken \frac{657}{65} ekuazioaren bi aldeetan.

$$10d=-\frac{56}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$d=-\frac{28}{65}$$

Ebatzi da sistema.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$