Resolver {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=-5$$

$$b=25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+b=20$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-b+20$$

Ordeztu -b+20 balioa a balioarekin beste ekuazioan (6a+2b=20).

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

Egin 6 bider -b+20.

$$-6b+120+2b=20$$

Gehitu -6b eta 2b.

$$-4b+120=20$$

Egin ken 120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4b=-100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$b=25$$

Ordeztu 25 b balioarekin a=-b+20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-25+20$$

Gehitu 20 eta -25.

$$a=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-5,b=25$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-5,b=25$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

a eta 6a berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

Sinplifikatu.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

Egin 6a+2b=20 ken 6a+6b=120 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

Gehitu 6a eta -6a. Sinplifikatu egiten dira 6a eta -6a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6b-2b=120-20$$

Gehitu 6b eta -2b.

$$4b=120-20$$

Gehitu 120 eta -20.

$$4b=100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$b=25$$

Ordeztu 25 b balioarekin 6a+2b=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$6a+2\times 25=20$$

Egin 2 bider 25.

$$6a+50=20$$

Egin ken 50 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6a=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$a=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-5,b=25$$