Resolver {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+y=21$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-y+21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Ordeztu \frac{-y+21}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (24x-5y=23).

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

Egin 24 bider \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

Gehitu -3y eta -5y.

$$-8y+63=23$$

Egin ken 63 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

Egin -\frac{1}{8} bider 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Gehitu \frac{21}{8} eta -\frac{5}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

8x eta 24x berdintzeko, biderkatu 24 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Sinplifikatu.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Egin 192x-40y=184 ken 192x+24y=504 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

Gehitu 192x eta -192x. Sinplifikatu egiten dira 192x eta -192x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24y+40y=504-184$$

Gehitu 24y eta 40y.

$$64y=504-184$$

Gehitu 504 eta -184.

$$64y=320$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 64 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 24x-5y=23 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$24x-5\times 5=23$$

Egin -5 bider 5.

$$24x-25=23$$

Gehitu 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$24x=48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=5$$