Resolver {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+2y=24$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-2y+24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Ordeztu \frac{-2y+24}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-8x+2y=-30).

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

Egin -8 bider \frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

Gehitu \frac{16y}{7} eta 2y.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

Gehitu \frac{192}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{30}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Ordeztu -\frac{3}{5} y balioarekin x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

Egin -\frac{2}{7} bider -\frac{3}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

Gehitu \frac{24}{7} eta \frac{6}{35} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{18}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Egin -8x+2y=-30 ken 7x+2y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7x+8x=24+30$$

Gehitu 7x eta 8x.

$$15x=24+30$$

Gehitu 24 eta 30.

$$15x=54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$x=\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{18}{5} x balioarekin -8x+2y=-30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

Egin -8 bider \frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

Gehitu \frac{144}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$