Resolver {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+8y=k$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-8y+k$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

Ordeztu -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=1).

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

Gehitu -\frac{4y}{3} eta y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

Egin ken \frac{k}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Ordeztu -3+\frac{k}{2} y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

Egin -\frac{4}{3} bider -3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

Gehitu \frac{k}{6} eta 4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

6x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

Egin 6x+6y=6 ken 6x+8y=k berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-6y=k-6$$

Gehitu 8y eta -6y.

$$2y=k-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Ordeztu \frac{k}{2}-3 y balioarekin x+y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

Egin ken -3+\frac{k}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$