Resolver {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5y+x=44$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-x+44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

Ordeztu \frac{-x+44}{5} balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=4).

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

Gehitu -\frac{x}{5} eta -x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

Egin ken \frac{44}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{6}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider 4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

Gehitu \frac{44}{5} eta -\frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=8,x=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=8,x=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5y+x=44,y-x=4$$

5y eta y berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

Sinplifikatu.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

Egin 5y-5x=20 ken 5y+x=44 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

Gehitu 5y eta -5y. Sinplifikatu egiten dira 5y eta -5y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+5x=44-20$$

Gehitu x eta 5x.

$$6x=44-20$$

Gehitu 44 eta -20.

$$6x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y-x=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-4=4$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=8,x=4$$