Resolver {r}{5x+3y=11}{3x-4y=24}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 3 y = 11 } \\ { 3 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y=11,3x-4y=24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y=11$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+11\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+11.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{-3y+11}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-4y=24).

$$3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-4y=24$$

Egin 3 bider \frac{-3y+11}{5}.

$$-\frac{9}{5}y+\frac{33}{5}-4y=24$$

Gehitu -\frac{9y}{5} eta -4y.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{33}{5}=24$$

Egin ken \frac{33}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{29}{5}y=\frac{87}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{29}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+\frac{11}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{11}{5}$$

Egin -\frac{3}{5} bider -3.

$$x=\frac{9+11}{5}$$

Gehitu \frac{11}{5} eta \frac{9}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y=11,3x-4y=24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{5\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{5}{5\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 11+\frac{3}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 11-\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y=11,3x-4y=24$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 11,5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\times 24$$

Sinplifikatu.

$$15x+9y=33,15x-20y=120$$

Egin 15x-20y=120 ken 15x+9y=33 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+9y+20y=33-120$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+20y=33-120$$

Gehitu 9y eta 20y.

$$29y=33-120$$

Gehitu 33 eta -120.

$$29y=-87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 29 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 3x-4y=24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-4\left(-3\right)=24$$

Egin -4 bider -3.

$$3x+12=24$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-3$$