Resolver {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$32x+3y=5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$32x=-3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 32 balioarekin.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{32} bider -3y+5.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

Ordeztu \frac{-3y+5}{32} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=70).

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

Egin 3 bider \frac{-3y+5}{32}.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

Gehitu -\frac{9y}{32} eta 2y.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

Egin ken \frac{15}{32} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{55}{32} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{445}{11}$$

Ordeztu \frac{445}{11} y balioarekin x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

Egin -\frac{3}{32} bider \frac{445}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Gehitu \frac{5}{32} eta -\frac{1335}{352} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 32 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Sinplifikatu.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

Egin 96x+64y=2240 ken 96x+9y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

Gehitu 96x eta -96x. Sinplifikatu egiten dira 96x eta -96x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-64y=15-2240$$

Gehitu 9y eta -64y.

$$-55y=15-2240$$

Gehitu 15 eta -2240.

$$-55y=-2225$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -55 balioarekin.

$$y=\frac{445}{11}$$

Ordeztu \frac{445}{11} y balioarekin 3x+2y=70 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

Egin 2 bider \frac{445}{11}.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

Egin ken \frac{890}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$