Resolver {r}{3x+7y=2}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x + 7 y = 2 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{51}{10} = 5\frac{1}{10} = 5.1$$

$$y = -\frac{19}{10} = -1\frac{9}{10} = -1.9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+7y=2$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-7y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -7y+2.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{-7y+2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=7).

$$-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}-y=7$$

Gehitu -\frac{7y}{3} eta -y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}=7$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{10}{3}y=\frac{19}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{10}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{19}{10}$$

Ordeztu -\frac{19}{10} y balioarekin x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{3}\left(-\frac{19}{10}\right)+\frac{2}{3}$$

Egin -\frac{7}{3} bider -\frac{19}{10}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{133}{30}+\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{133}{30} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{51}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&-\frac{7}{3\left(-1\right)-7}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&\frac{3}{3\left(-1\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{7}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{7}{10}\times 7\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{51}{10}\\-\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+7y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$3x+7y=2,3x-3y=21$$

Egin 3x-3y=21 ken 3x+7y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+7y+3y=2-21$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y+3y=2-21$$

Gehitu 7y eta 3y.

$$10y=2-21$$

Gehitu 2 eta -21.

$$10y=-19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-\frac{19}{10}$$

Ordeztu -\frac{19}{10} y balioarekin x-y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\left(-\frac{19}{10}\right)=7$$

Egin ken \frac{19}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{51}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$