Resolver {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$22x+3y=5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$22x=-3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 22 balioarekin.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{22} bider -3y+5.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

Ordeztu \frac{-3y+5}{22} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=70).

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

Egin 3 bider \frac{-3y+5}{22}.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

Gehitu -\frac{9y}{22} eta 2y.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

Egin ken \frac{15}{22} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{35}{22} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{305}{7}$$

Ordeztu \frac{305}{7} y balioarekin x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

Egin -\frac{3}{22} bider \frac{305}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Gehitu \frac{5}{22} eta -\frac{915}{154} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

22x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 22 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Sinplifikatu.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

Egin 66x+44y=1540 ken 66x+9y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

Gehitu 66x eta -66x. Sinplifikatu egiten dira 66x eta -66x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-44y=15-1540$$

Gehitu 9y eta -44y.

$$-35y=15-1540$$

Gehitu 15 eta -1540.

$$-35y=-1525$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -35 balioarekin.

$$y=\frac{305}{7}$$

Ordeztu \frac{305}{7} y balioarekin 3x+2y=70 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

Egin 2 bider \frac{305}{7}.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

Egin ken \frac{610}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$