Resolver {r}{2x+4y=56}{x+y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 4 y = 56 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=56$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+56$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+56\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+56.

$$x=-2y+28$$

Ordeztu -2y+28 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=20).

$$-2y+28+y=20$$

Gehitu -2y eta y.

$$-y+28=20$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-2y+28 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times 8+28$$

Egin -2 bider 8.

$$x=-16+28$$

Gehitu 28 eta -16.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 56+2\times 20\\\frac{1}{2}\times 56-20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=12,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+4y=56,2x+2y=2\times 20$$

Sinplifikatu.

$$2x+4y=56,2x+2y=40$$

Egin 2x+2y=40 ken 2x+4y=56 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+4y-2y=56-40$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-2y=56-40$$

Gehitu 4y eta -2y.

$$2y=56-40$$

Gehitu 56 eta -40.

$$2y=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x+y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+8=20$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=8$$