Resolver {r}{2(x+2y)+3(3x-y)=38}{4(3x+2y)-3(x+5y)=-8}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 ( x + 2 y ) + 3 ( 3 x - y ) = 38 } \\ { 4 ( 3 x + 2 y ) - 3 ( x + 5 y ) = - 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+2y biderkatzeko.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-y biderkatzeko.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x lortzeko, konbinatu 2x eta 9x.

$$11x+4y-3y=38$$

y lortzeko, konbinatu 4y eta -3y.

$$11x+y=38$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta 3x+2y biderkatzeko.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x+5y biderkatzeko.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x lortzeko, konbinatu 12x eta -3x.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y lortzeko, konbinatu 8y eta -15y.

$$9x-7y=-8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$11x+y=38$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=-y+38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=\frac{1}{11}\left(-y+38\right)$$

Egin \frac{1}{11} bider -y+38.

$$x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}$$

Ordeztu \frac{-y+38}{11} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-7y=-8).

$$9\left(-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}\right)-7y=-8$$

Egin 9 bider \frac{-y+38}{11}.

$$-\frac{9}{11}y+\frac{342}{11}-7y=-8$$

Gehitu -\frac{9y}{11} eta -7y.

$$-\frac{86}{11}y+\frac{342}{11}=-8$$

Egin ken \frac{342}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{86}{11}y=-\frac{430}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{86}{11} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{11}\times 5+\frac{38}{11}$$

Egin -\frac{1}{11} bider 5.

$$x=\frac{-5+38}{11}$$

Gehitu \frac{38}{11} eta -\frac{5}{11} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+2y biderkatzeko.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-y biderkatzeko.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x lortzeko, konbinatu 2x eta 9x.

$$11x+4y-3y=38$$

y lortzeko, konbinatu 4y eta -3y.

$$11x+y=38$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta 3x+2y biderkatzeko.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x+5y biderkatzeko.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x lortzeko, konbinatu 12x eta -3x.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y lortzeko, konbinatu 8y eta -15y.

$$9x-7y=-8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11\left(-7\right)-9}&-\frac{1}{11\left(-7\right)-9}\\-\frac{9}{11\left(-7\right)-9}&\frac{11}{11\left(-7\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}&\frac{1}{86}\\\frac{9}{86}&-\frac{11}{86}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}\times 38+\frac{1}{86}\left(-8\right)\\\frac{9}{86}\times 38-\frac{11}{86}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+2y biderkatzeko.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-y biderkatzeko.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x lortzeko, konbinatu 2x eta 9x.

$$11x+4y-3y=38$$

y lortzeko, konbinatu 4y eta -3y.

$$11x+y=38$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta 3x+2y biderkatzeko.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x+5y biderkatzeko.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x lortzeko, konbinatu 12x eta -3x.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y lortzeko, konbinatu 8y eta -15y.

$$9x-7y=-8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

11x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 11 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 11x+9y=9\times 38,11\times 9x+11\left(-7\right)y=11\left(-8\right)$$

Sinplifikatu.

$$99x+9y=342,99x-77y=-88$$

Egin 99x-77y=-88 ken 99x+9y=342 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$99x-99x+9y+77y=342+88$$

Gehitu 99x eta -99x. Sinplifikatu egiten dira 99x eta -99x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+77y=342+88$$

Gehitu 9y eta 77y.

$$86y=342+88$$

Gehitu 342 eta 88.

$$86y=430$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 86 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 9x-7y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x-7\times 5=-8$$

Egin -7 bider 5.

$$9x-35=-8$$

Gehitu 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=5$$