Resolver {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$12x+3y=5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x=-3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{12} bider -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Ordeztu -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=7).

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

Egin 3 bider -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{23}{5}$$

Ordeztu \frac{23}{5} y balioarekin x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

Egin -\frac{1}{4} bider \frac{23}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Gehitu \frac{5}{12} eta -\frac{23}{20} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

12x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 12 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Sinplifikatu.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

Egin 36x+24y=84 ken 36x+9y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

Gehitu 36x eta -36x. Sinplifikatu egiten dira 36x eta -36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-24y=15-84$$

Gehitu 9y eta -24y.

$$-15y=15-84$$

Gehitu 15 eta -84.

$$-15y=-69$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=\frac{23}{5}$$

Ordeztu \frac{23}{5} y balioarekin 3x+2y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

Egin 2 bider \frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

Egin ken \frac{46}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$