Resolver {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x-10y=-10$$

Gehitu 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=10y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -10+10y.

$$x=y-1$$

Ordeztu y-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-10x+8y=12).

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

Egin -10 bider y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

Gehitu -10y eta 8y.

$$-2y+10=12$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-1-1$$

Gehitu -1 eta -1.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

10x eta -10x berdintzeko, biderkatu -10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

Sinplifikatu.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

Egin -100x+80y=120 ken -100x+100y=100 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

Gehitu -100x eta 100x. Sinplifikatu egiten dira -100x eta 100x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$100y-80y=100-120$$

Gehitu 100y eta -80y.

$$20y=100-120$$

Gehitu 100 eta -120.

$$20y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin -10x+8y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

Egin 8 bider -1.

$$-10x-8=12$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-1$$