Resolver {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-7x+2y=-39$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-2y-39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

Egin -\frac{1}{7} bider -2y-39.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

Ordeztu \frac{2y+39}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-5y=55).

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

Egin 9 bider \frac{2y+39}{7}.

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

Gehitu \frac{18y}{7} eta -5y.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

Egin ken \frac{351}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

Egin \frac{2}{7} bider -2.

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

Gehitu \frac{39}{7} eta -\frac{4}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

-7x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

Sinplifikatu.

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

Egin -63x+35y=-385 ken -63x+18y=-351 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

Gehitu -63x eta 63x. Sinplifikatu egiten dira -63x eta 63x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-35y=-351+385$$

Gehitu 18y eta -35y.

$$-17y=-351+385$$

Gehitu -351 eta 385.

$$-17y=34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -17 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 9x-5y=55 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

Egin -5 bider -2.

$$9x+10=55$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-2$$