Resolver {r}{-6x+21y=-24}{+quad6x-4y=24}

$$\left. \begin{array} { r } { - 6 x + 21 y = - 24 } \\ { + \quad 6 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-6x+21y=-24$$

Egin ken 21y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=-21y-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-21y-24\right)$$

Egin -\frac{1}{6} bider -21y-24.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Ordeztu \frac{7y}{2}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-4y=24).

$$6\left(\frac{7}{2}y+4\right)-4y=24$$

Egin 6 bider \frac{7y}{2}+4.

$$21y+24-4y=24$$

Gehitu 21y eta -4y.

$$17y+24=24$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$17y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{7}{2}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{21}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\\-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}&\frac{7}{34}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}\left(-24\right)+\frac{7}{34}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-24\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

-6x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\left(-6\right)x+6\times 21y=6\left(-24\right),-6\times 6x-6\left(-4\right)y=-6\times 24$$

Sinplifikatu.

$$-36x+126y=-144,-36x+24y=-144$$

Egin -36x+24y=-144 ken -36x+126y=-144 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-36x+36x+126y-24y=-144+144$$

Gehitu -36x eta 36x. Sinplifikatu egiten dira -36x eta 36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$126y-24y=-144+144$$

Gehitu 126y eta -24y.

$$102y=-144+144$$

Gehitu -144 eta 144.

$$102y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 102 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin 6x-4y=24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=0$$