Resolver {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+1 biderkatzeko.

$$2x+2-3y=-9$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 lortzeko, -9 balioari kendu 2.

$$2x-3y=-11$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+5-y biderkatzeko.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x lortzeko, konbinatu 3x eta 3x.

$$6x+15-3y=12$$

Kendu 15 bi aldeetatik.

$$6x-3y=12-15$$

-3 lortzeko, 12 balioari kendu 15.

$$6x-3y=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=-11$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

Ordeztu \frac{3y-11}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-3y=-3).

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

Egin 6 bider \frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

Gehitu 9y eta -3y.

$$6y-33=-3$$

Gehitu 33 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider 5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

Gehitu -\frac{11}{2} eta \frac{15}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+1 biderkatzeko.

$$2x+2-3y=-9$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 lortzeko, -9 balioari kendu 2.

$$2x-3y=-11$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+5-y biderkatzeko.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x lortzeko, konbinatu 3x eta 3x.

$$6x+15-3y=12$$

Kendu 15 bi aldeetatik.

$$6x-3y=12-15$$

-3 lortzeko, 12 balioari kendu 15.

$$6x-3y=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+1 biderkatzeko.

$$2x+2-3y=-9$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 lortzeko, -9 balioari kendu 2.

$$2x-3y=-11$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+5-y biderkatzeko.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x lortzeko, konbinatu 3x eta 3x.

$$6x+15-3y=12$$

Kendu 15 bi aldeetatik.

$$6x-3y=12-15$$

-3 lortzeko, 12 balioari kendu 15.

$$6x-3y=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Egin 6x-3y=-3 ken 2x-3y=-11 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

Gehitu -3y eta 3y. Sinplifikatu egiten dira -3y eta 3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-6x=-11+3$$

Gehitu 2x eta -6x.

$$-4x=-11+3$$

Gehitu -11 eta 3.

$$-4x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin 6x-3y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$6\times 2-3y=-3$$

Egin 6 bider 2.

$$12-3y=-3$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=5$$