Resolver {l}{y-x=20}{7x-2y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { y - x = 20 } \\ { 7 x - 2 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=11$$

$$y=31$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=20,-2y+7x=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=20$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x+20$$

Ordeztu x+20 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+7x=15).

$$-2\left(x+20\right)+7x=15$$

Egin -2 bider x+20.

$$-2x-40+7x=15$$

Gehitu -2x eta 7x.

$$5x-40=15$$

Gehitu 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=55$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=11$$

Ordeztu 11 x balioarekin y=x+20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=11+20$$

Gehitu 20 eta 11.

$$y=31$$

Ebatzi da sistema.

$$y=31,x=11$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=20,-2y+7x=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\times 20+\frac{1}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 20+\frac{1}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=31,x=11$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=20,-2y+7x=15$$

y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 20,-2y+7x=15$$

Sinplifikatu.

$$-2y+2x=-40,-2y+7x=15$$

Egin -2y+7x=15 ken -2y+2x=-40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2y+2y+2x-7x=-40-15$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-7x=-40-15$$

Gehitu 2x eta -7x.

$$-5x=-40-15$$

Gehitu -40 eta -15.

$$-5x=-55$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=11$$

Ordeztu 11 x balioarekin -2y+7x=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y+7\times 11=15$$

Egin 7 bider 11.

$$-2y+77=15$$

Egin ken 77 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-62$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=31$$

Ebatzi da sistema.

$$y=31,x=11$$