Resolver {l}{y=x-6}{y=-6x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 6 } \\ { y = - 6 x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=1$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 6x bi aldeetan.

$$y+6x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=-6$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x-6$$

Ordeztu x-6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+6x=1).

$$x-6+6x=1$$

Gehitu x eta 6x.

$$7x-6=1$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y=x-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=1-6$$

Gehitu -6 eta 1.

$$y=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-5,x=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 6x bi aldeetan.

$$y+6x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{6-\left(-1\right)}&\frac{1}{6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-5,x=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 6x bi aldeetan.

$$y+6x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Egin y+6x=1 ken y-x=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-x-6x=-6-1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x-6x=-6-1$$

Gehitu -x eta -6x.

$$-7x=-6-1$$

Gehitu -6 eta -1.

$$-7x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y+6x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+6=1$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-5,x=1$$