Resolver {l}{y=x+1500}{0.06x+0.10y=1070}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1500 } \\ { 0.06 x + 0.10 y = 1070 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=5750$$

$$y=7250$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1500$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=1500$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x+1500$$

Ordeztu x+1500 balioa y balioarekin beste ekuazioan (0.1y+0.06x=1070).

$$0.1\left(x+1500\right)+0.06x=1070$$

Egin 0.1 bider x+1500.

$$0.1x+150+0.06x=1070$$

Gehitu \frac{x}{10} eta \frac{3x}{50}.

$$0.16x+150=1070$$

Egin ken 150 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.16x=920$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.16 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=5750$$

Ordeztu 5750 x balioarekin y=x+1500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=5750+1500$$

Gehitu 1500 eta 5750.

$$y=7250$$

Ebatzi da sistema.

$$y=7250,x=5750$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1500$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-\left(-0.1\right)}&-\frac{-1}{0.06-\left(-0.1\right)}\\-\frac{0.1}{0.06-\left(-0.1\right)}&\frac{1}{0.06-\left(-0.1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375&6.25\\-0.625&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375\times 1500+6.25\times 1070\\-0.625\times 1500+6.25\times 1070\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7250\\5750\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=7250,x=5750$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1500$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

y eta \frac{y}{10} berdintzeko, biderkatu 0.1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.1y+0.1\left(-1\right)x=0.1\times 1500,0.1y+0.06x=1070$$

Sinplifikatu.

$$0.1y-0.1x=150,0.1y+0.06x=1070$$

Egin 0.1y+0.06x=1070 ken 0.1y-0.1x=150 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.1y-0.1y-0.1x-0.06x=150-1070$$

Gehitu \frac{y}{10} eta -\frac{y}{10}. Sinplifikatu egiten dira \frac{y}{10} eta -\frac{y}{10}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.1x-0.06x=150-1070$$

Gehitu -\frac{x}{10} eta -\frac{3x}{50}.

$$-0.16x=150-1070$$

Gehitu 150 eta -1070.

$$-0.16x=-920$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.16 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=5750$$

Ordeztu 5750 x balioarekin 0.1y+0.06x=1070 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.1y+0.06\times 5750=1070$$

Egin 0.06 bider 5750.

$$0.1y+345=1070$$

Egin ken 345 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.1y=725$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=7250$$

Ebatzi da sistema.

$$y=7250,x=5750$$