Resolver {l}{y=x+1}{y=3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=1$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x+1$$

Ordeztu x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-3x=2).

$$x+1-3x=2$$

Gehitu x eta -3x.

$$-2x+1=2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} x balioarekin y=x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Egin y-3x=2 ken y-x=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-x+3x=1-2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x+3x=1-2$$

Gehitu -x eta 3x.

$$2x=1-2$$

Gehitu 1 eta -2.

$$2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} x balioarekin y-3x=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-3\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Egin -3 bider -\frac{1}{2}.

$$y+\frac{3}{2}=2$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$