Resolver {l}{y=x+1}{2x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=0$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=1,-3y+2x=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=1$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x+1$$

Ordeztu x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-3y+2x=-3).

$$-3\left(x+1\right)+2x=-3$$

Egin -3 bider x+1.

$$-3x-3+2x=-3$$

Gehitu -3x eta 2x.

$$-x-3=-3$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y=x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=1,-3y+2x=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-3\right)\\-3-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=1,x=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=1,-3y+2x=-3$$

y eta -3y berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3y-3\left(-1\right)x=-3,-3y+2x=-3$$

Sinplifikatu.

$$-3y+3x=-3,-3y+2x=-3$$

Egin -3y+2x=-3 ken -3y+3x=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3y+3y+3x-2x=-3+3$$

Gehitu -3y eta 3y. Sinplifikatu egiten dira -3y eta 3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x-2x=-3+3$$

Gehitu 3x eta -2x.

$$x=-3+3$$

Gehitu -3 eta 3.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin -3y+2x=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=0$$