Resolver {l}{y=9x+6}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 9 x + 6 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y = \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} = 7.125$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$y-9x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-9x=6$$

Gehitu 9x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=9x+6$$

Ordeztu 9x+6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=7).

$$9x+6-x=7$$

Gehitu 9x eta -x.

$$8x+6=7$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}$$

Ordeztu \frac{1}{8} x balioarekin y=9x+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=9\times \frac{1}{8}+6$$

Egin 9 bider \frac{1}{8}.

$$y=\frac{9}{8}+6$$

Gehitu 6 eta \frac{9}{8}.

$$y=\frac{57}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$y-9x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&-\frac{-9}{-1-\left(-9\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&\frac{1}{-1-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{9}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 6+\frac{9}{8}\times 7\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{57}{8}\\\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$y-9x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Egin y-x=7 ken y-9x=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-9x+x=6-7$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9x+x=6-7$$

Gehitu -9x eta x.

$$-8x=6-7$$

Gehitu 6 eta -7.

$$-8x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}$$

Ordeztu \frac{1}{8} x balioarekin y-x=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{1}{8}=7$$

Gehitu \frac{1}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{57}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$