Resolver {l}{y=8x-18}{y=x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 18 } \\ { y = x - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8x bi aldeetatik.

$$y-8x=-18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-8x=-18$$

Gehitu 8x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=8x-18$$

Ordeztu 8x-18 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=-4).

$$8x-18-x=-4$$

Gehitu 8x eta -x.

$$7x-18=-4$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=8x-18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=8\times 2-18$$

Egin 8 bider 2.

$$y=16-18$$

Gehitu -18 eta 16.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8x bi aldeetatik.

$$y-8x=-18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{-1-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&\frac{1}{-1-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{8}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-2,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8x bi aldeetatik.

$$y-8x=-18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Egin y-x=-4 ken y-8x=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-8x+x=-18+4$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8x+x=-18+4$$

Gehitu -8x eta x.

$$-7x=-18+4$$

Gehitu -18 eta 4.

$$-7x=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y-x=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-2=-4$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=2$$