Resolver {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, p

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7.5p bi aldeetatik.

$$y-7.5p=45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 0.6p bi aldeetan.

$$y+0.6p=300$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-7.5p=45$$

Gehitu \frac{15p}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=7.5p+45$$

Ordeztu \frac{15p}{2}+45 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+0.6p=300).

$$7.5p+45+0.6p=300$$

Gehitu \frac{15p}{2} eta \frac{3p}{5}.

$$8.1p+45=300$$

Egin ken 45 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8.1p=255$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8.1 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$p=\frac{850}{27}$$

Ordeztu \frac{850}{27} p balioarekin y=7.5p+45 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

Egin 7.5 bider \frac{850}{27}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

Gehitu 45 eta \frac{2125}{9}.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7.5p bi aldeetatik.

$$y-7.5p=45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 0.6p bi aldeetan.

$$y+0.6p=300$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta p matrize-elementuak.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7.5p bi aldeetatik.

$$y-7.5p=45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 0.6p bi aldeetan.

$$y+0.6p=300$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Egin y+0.6p=300 ken y-7.5p=45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

Gehitu -\frac{15p}{2} eta -\frac{3p}{5}.

$$-8.1p=45-300$$

Gehitu 45 eta -300.

$$-8.1p=-255$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8.1 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$p=\frac{850}{27}$$

Ordeztu \frac{850}{27} p balioarekin y+0.6p=300 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

Egin 0.6 bider \frac{850}{27}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

Egin ken \frac{170}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$