Resolver {l}{y=5x+3}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x + 3 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-5x=3$$

Gehitu 5x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=5x+3$$

Ordeztu 5x+3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+2x=-4).

$$5x+3+2x=-4$$

Gehitu 5x eta 2x.

$$7x+3=-4$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=5x+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=5\left(-1\right)+3$$

Egin 5 bider -1.

$$y=-5+3$$

Gehitu 3 eta -5.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{5}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-2,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Egin y+2x=-4 ken y-5x=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-5x-2x=3+4$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5x-2x=3+4$$

Gehitu -5x eta -2x.

$$-7x=3+4$$

Gehitu 3 eta 4.

$$-7x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y+2x=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

Egin 2 bider -1.

$$y-2=-4$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=-1$$