Resolver {l}{y=4x-2}{y=1/4x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=0$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-4x=-2$$

Gehitu 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4x-2$$

Ordeztu 4x-2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{1}{4}x=-2).

$$4x-2-\frac{1}{4}x=-2$$

Gehitu 4x eta -\frac{x}{4}.

$$\frac{15}{4}x-2=-2$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{15}{4}x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{15}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y=4x-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{16}{15}\\-\frac{4}{15}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-2\right)+\frac{16}{15}\left(-2\right)\\-\frac{4}{15}\left(-2\right)+\frac{4}{15}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-2,x=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Egin y-\frac{1}{4}x=-2 ken y-4x=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-4x+\frac{1}{4}x=-2+2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4x+\frac{1}{4}x=-2+2$$

Gehitu -4x eta \frac{x}{4}.

$$-\frac{15}{4}x=-2+2$$

Gehitu -2 eta 2.

$$-\frac{15}{4}x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{15}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y-\frac{1}{4}x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=0$$