Resolver {l}{y=3x-7}{2x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 7 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=-7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-3x=-7$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3x-7$$

Ordeztu 3x-7 balioa y balioarekin beste ekuazioan (3y+2x=12).

$$3\left(3x-7\right)+2x=12$$

Egin 3 bider 3x-7.

$$9x-21+2x=12$$

Gehitu 9x eta 2x.

$$11x-21=12$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=33$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin y=3x-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=3\times 3-7$$

Egin 3 bider 3.

$$y=9-7$$

Gehitu -7 eta 9.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=-7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-7\right)+\frac{3}{11}\times 12\\-\frac{3}{11}\left(-7\right)+\frac{1}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=2,x=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=-7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

y eta 3y berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3y+3\left(-3\right)x=3\left(-7\right),3y+2x=12$$

Sinplifikatu.

$$3y-9x=-21,3y+2x=12$$

Egin 3y+2x=12 ken 3y-9x=-21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3y-3y-9x-2x=-21-12$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9x-2x=-21-12$$

Gehitu -9x eta -2x.

$$-11x=-21-12$$

Gehitu -21 eta -12.

$$-11x=-33$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin 3y+2x=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3y+2\times 3=12$$

Egin 2 bider 3.

$$3y+6=12$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=3$$