Resolver {l}{y=2x-4}{y=4x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { y = 4 x - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=-4,y-4x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=-4$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x-4$$

Ordeztu -4+2x balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-4x=-2).

$$2x-4-4x=-2$$

Gehitu 2x eta -4x.

$$-2x-4=-2$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=2x-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\left(-1\right)-4$$

Egin 2 bider -1.

$$y=-2-4$$

Gehitu -4 eta -2.

$$y=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-6,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=-4,y-4x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-2\right)}&\frac{1}{-4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-4\right)-\left(-2\right)\\\frac{1}{2}\left(-4\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-6,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=-4,y-4x=-2$$

Egin y-4x=-2 ken y-2x=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-2x+4x=-4+2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x+4x=-4+2$$

Gehitu -2x eta 4x.

$$2x=-4+2$$

Gehitu -4 eta 2.

$$2x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y-4x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-4\left(-1\right)=-2$$

Egin -4 bider -1.

$$y+4=-2$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-6,x=-1$$