Resolver {l}{y=2x-2}{y=-5x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 2 } \\ { y = - 5 x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y = -\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7} \approx -1.142857143$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$y+5x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=-2$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x-2$$

Ordeztu -2+2x balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+5x=1).

$$2x-2+5x=1$$

Gehitu 2x eta 5x.

$$7x-2=1$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ordeztu \frac{3}{7} x balioarekin y=2x-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\times \frac{3}{7}-2$$

Egin 2 bider \frac{3}{7}.

$$y=\frac{6}{7}-2$$

Gehitu -2 eta \frac{6}{7}.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$y+5x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\left(-2\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$y+5x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Egin y+5x=1 ken y-2x=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-2x-5x=-2-1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x-5x=-2-1$$

Gehitu -2x eta -5x.

$$-7x=-2-1$$

Gehitu -2 eta -1.

$$-7x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ordeztu \frac{3}{7} x balioarekin y+5x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+5\times \frac{3}{7}=1$$

Egin 5 bider \frac{3}{7}.

$$y+\frac{15}{7}=1$$

Egin ken \frac{15}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$