Resolver {l}{y=2x}{y=5x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { y = 5 x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=0,y-5x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=0$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x$$

Ordeztu 2x balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-5x=1).

$$2x-5x=1$$

Gehitu 2x eta -5x.

$$-3x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{1}{3} x balioarekin y=2x ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Egin 2 bider -\frac{1}{3}.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{2}{3},x=-\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=0,y-5x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-2\right)}&\frac{1}{-5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{2}{3},x=-\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=0,y-5x=1$$

Egin y-5x=1 ken y-2x=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-2x+5x=-1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x+5x=-1$$

Gehitu -2x eta 5x.

$$3x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{1}{3} x balioarekin y-5x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-5\left(-\frac{1}{3}\right)=1$$

Egin -5 bider -\frac{1}{3}.

$$y+\frac{5}{3}=1$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{2}{3},x=-\frac{1}{3}$$