Resolver {l}{y=2x}{300x+200y=7000}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=10$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=0$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x$$

Ordeztu 2x balioa y balioarekin beste ekuazioan (200y+300x=7000).

$$200\times 2x+300x=7000$$

Egin 200 bider 2x.

$$400x+300x=7000$$

Gehitu 400x eta 300x.

$$700x=7000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 700 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin y=2x ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\times 10$$

Egin 2 bider 10.

$$y=20$$

Ebatzi da sistema.

$$y=20,x=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=20,x=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

y eta 200y berdintzeko, biderkatu 200 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

Sinplifikatu.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

Egin 200y+300x=7000 ken 200y-400x=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

Gehitu 200y eta -200y. Sinplifikatu egiten dira 200y eta -200y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-400x-300x=-7000$$

Gehitu -400x eta -300x.

$$-700x=-7000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -700 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin 200y+300x=7000 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$200y+300\times 10=7000$$

Egin 300 bider 10.

$$200y+3000=7000$$

Egin ken 3000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$200y=4000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 200 balioarekin.

$$y=20$$

Ebatzi da sistema.

$$y=20,x=10$$