Resolver {l}{y=2x+7}{2y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 7 } \\ { 2 y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=7$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x+7$$

Ordeztu 2x+7 balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y-x=2).

$$2\left(2x+7\right)-x=2$$

Egin 2 bider 2x+7.

$$4x+14-x=2$$

Gehitu 4x eta -x.

$$3x+14=2$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin y=2x+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\left(-4\right)+7$$

Egin 2 bider -4.

$$y=-8+7$$

Gehitu 7 eta -8.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-1,x=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 7,2y-x=2$$

Sinplifikatu.

$$2y-4x=14,2y-x=2$$

Egin 2y-x=2 ken 2y-4x=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y-4x+x=14-2$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4x+x=14-2$$

Gehitu -4x eta x.

$$-3x=14-2$$

Gehitu 14 eta -2.

$$-3x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin 2y-x=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y-\left(-4\right)=2$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=-4$$