Resolver {l}{y=2x+1}{y=3x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { y = 3 x + 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=1$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x+1$$

Ordeztu 2x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-3x=3).

$$2x+1-3x=3$$

Gehitu 2x eta -3x.

$$-x+1=3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-2$$

Ordeztu -2 x balioarekin y=2x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\left(-2\right)+1$$

Egin 2 bider -2.

$$y=-4+1$$

Gehitu 1 eta -4.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\times 3\\1-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-3,x=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Egin y-3x=3 ken y-2x=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-2x+3x=1-3$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x+3x=1-3$$

Gehitu -2x eta 3x.

$$x=1-3$$

Gehitu 1 eta -3.

$$x=-2$$

Ordeztu -2 x balioarekin y-3x=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-3\left(-2\right)=3$$

Egin -3 bider -2.

$$y+6=3$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=-2$$