Resolver {l}{y=0.5x+17}{y=3x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 0.5 x + 17 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=6.8$$

$$y=20.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.5x bi aldeetatik.

$$y-0.5x=17$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-0.5x=17,y-3x=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-0.5x=17$$

Gehitu \frac{x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=0.5x+17$$

Ordeztu \frac{x}{2}+17 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-3x=0).

$$0.5x+17-3x=0$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -3x.

$$-2.5x+17=0$$

Egin ken 17 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2.5x=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=6.8$$

Ordeztu 6.8 x balioarekin y=0.5x+17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=0.5\times 6.8+17$$

Egin 0.5 bider 6.8, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=3.4+17$$

Gehitu 17 eta 3.4.

$$y=20.4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=20.4,x=6.8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.5x bi aldeetatik.

$$y-0.5x=17$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-0.5x=17,y-3x=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-0.5\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-0.5\right)}&-\frac{-0.5}{-3-\left(-0.5\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-0.5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-0.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.2&-0.2\\0.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.2\times 17\\0.4\times 17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20.4\\6.8\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=20.4,x=6.8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 0.5x bi aldeetatik.

$$y-0.5x=17$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-0.5x=17,y-3x=0$$

Egin y-3x=0 ken y-0.5x=17 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-0.5x+3x=17$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.5x+3x=17$$

Gehitu -\frac{x}{2} eta 3x.

$$2.5x=17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=6.8$$

Ordeztu 6.8 x balioarekin y-3x=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-3\times 6.8=0$$

Egin -3 bider 6.8.

$$y-20.4=0$$

Gehitu 20.4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=20.4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=20.4,x=6.8$$