Resolver {l}{y=-x-7}{5y+3x=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 7 } \\ { 5 y + 3 x = - 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-11$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+x=-7$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-x-7$$

Ordeztu -x-7 balioa y balioarekin beste ekuazioan (5y+3x=-13).

$$5\left(-x-7\right)+3x=-13$$

Egin 5 bider -x-7.

$$-5x-35+3x=-13$$

Gehitu -5x eta 3x.

$$-2x-35=-13$$

Gehitu 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-11$$

Ordeztu -11 x balioarekin y=-x-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\left(-11\right)-7$$

Egin -1 bider -11.

$$y=11-7$$

Gehitu -7 eta 11.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=-11$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{5}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=4,x=-11$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

y eta 5y berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5y+5x=5\left(-7\right),5y+3x=-13$$

Sinplifikatu.

$$5y+5x=-35,5y+3x=-13$$

Egin 5y+3x=-13 ken 5y+5x=-35 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5y-5y+5x-3x=-35+13$$

Gehitu 5y eta -5y. Sinplifikatu egiten dira 5y eta -5y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5x-3x=-35+13$$

Gehitu 5x eta -3x.

$$2x=-35+13$$

Gehitu -35 eta 13.

$$2x=-22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-11$$

Ordeztu -11 x balioarekin 5y+3x=-13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5y+3\left(-11\right)=-13$$

Egin 3 bider -11.

$$5y-33=-13$$

Gehitu 33 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=-11$$