Resolver {l}{y=-x+7}{y=4x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 7 } \\ { y = 4 x - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+x=7,y-4x=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+x=7$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-x+7$$

Ordeztu -x+7 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-4x=-4).

$$-x+7-4x=-4$$

Gehitu -x eta -4x.

$$-5x+7=-4$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{11}{5} x balioarekin y=-x+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{11}{5}+7$$

Gehitu 7 eta -\frac{11}{5}.

$$y=\frac{24}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{24}{5},x=\frac{11}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+x=7,y-4x=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-1}&-\frac{1}{-4-1}\\-\frac{1}{-4-1}&\frac{1}{-4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 7+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{24}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{24}{5},x=\frac{11}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+x=7,y-4x=-4$$

Egin y-4x=-4 ken y+x=7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+x+4x=7+4$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+4x=7+4$$

Gehitu x eta 4x.

$$5x=7+4$$

Gehitu 7 eta 4.

$$5x=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{11}{5} x balioarekin y-4x=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-4\times \frac{11}{5}=-4$$

Egin -4 bider \frac{11}{5}.

$$y-\frac{44}{5}=-4$$

Gehitu \frac{44}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{24}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{24}{5},x=\frac{11}{5}$$