Resolver {l}{y=-6x+2}{y=-x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 6 x + 2 } \\ { y = - x - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=1$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 6x bi aldeetan.

$$y+6x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+6x=2$$

Egin ken 6x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-6x+2$$

Ordeztu -6x+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+x=-3).

$$-6x+2+x=-3$$

Gehitu -6x eta x.

$$-5x+2=-3$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y=-6x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-6+2$$

Gehitu 2 eta -6.

$$y=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-4,x=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 6x bi aldeetan.

$$y+6x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-6}&-\frac{6}{1-6}\\-\frac{1}{1-6}&\frac{1}{1-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2+\frac{6}{5}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-4,x=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 6x bi aldeetan.

$$y+6x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Egin y+x=-3 ken y+6x=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+6x-x=2+3$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6x-x=2+3$$

Gehitu 6x eta -x.

$$5x=2+3$$

Gehitu 2 eta 3.

$$5x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y+x=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+1=-3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-4,x=1$$