Resolver {l}{y=-4x-3}{y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+4x=-3$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4x-3$$

Ordeztu -4x-3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=2).

$$-4x-3-x=2$$

Gehitu -4x eta -x.

$$-5x-3=2$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=-4x-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-4\left(-1\right)-3$$

Egin -4 bider -1.

$$y=4-3$$

Gehitu -3 eta 4.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4}&-\frac{4}{-1-4}\\-\frac{1}{-1-4}&\frac{1}{-1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{4}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=1,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Egin y-x=2 ken y+4x=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+4x+x=-3-2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x+x=-3-2$$

Gehitu 4x eta x.

$$5x=-3-2$$

Gehitu -3 eta -2.

$$5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y-x=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\left(-1\right)=2$$

Egin -1 bider -1.

$$y+1=2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=-1$$