Resolver {l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-17$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+4x=-17$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4x-17$$

Ordeztu -4x-17 balioa y balioarekin beste ekuazioan (6y-2x=2).

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

Egin 6 bider -4x-17.

$$-24x-102-2x=2$$

Gehitu -24x eta -2x.

$$-26x-102=2$$

Gehitu 102 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-26x=104$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin y=-4x-17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

Egin -4 bider -4.

$$y=16-17$$

Gehitu -17 eta 16.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-17$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-1,x=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-17$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

y eta 6y berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

Sinplifikatu.

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

Egin 6y-2x=2 ken 6y+24x=-102 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

Gehitu 6y eta -6y. Sinplifikatu egiten dira 6y eta -6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24x+2x=-102-2$$

Gehitu 24x eta 2x.

$$26x=-102-2$$

Gehitu -102 eta -2.

$$26x=-104$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin 6y-2x=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

Egin -2 bider -4.

$$6y+8=2$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=-4$$